La polémica por el problema matemático cuya “demostración impenetrable” casi nadie puede verificar

Por eso, cuando un día de agosto de 2012 empezó a circular la noticia de que la conjetura abc finalmente había sido demostrada, hubo frenesí en la comunidad.

El autor era nada más y nada menos que el nipón Shinichi Mochizuki, un matemático de la Universidad de Kioto (Japón) considerado una de las mentes más brillantes de su generación.

Los cuatro artículos académicos de unas 500 páginas aparecieron en la página web del propio Mochizuki y, si bien era extraño que un investigador de su talla no hubiese publicado un trabajo así de importante en una revista científica de renombre, en ese momento daba igual.

Ahí estaba la tan esperada demostración, disponible a un clic de distancia para que cualquiera la pudiese descargar y leer.

Pero rápidamente los matemáticos se dieron cuenta de que no cualquiera la podía entender.

La demostración estaba escrita en un estilo críptico que era ajeno a la mayoría de la comunidad y que fue descrito por la revista Nature como “impenetrable”.

El matemático Jordan S. Ellenberg, investigador y docente de la Universidad de Wisconsin-Madison (EE.UU.), incluso dio un paso más y afirmó: “Al mirarlo, te sientes un poco como si estuvieras leyendo un artículo del futuro o del espacio exterior“.

El problema es que si nadie la podía entender, entonces tampoco se podía verificar.

Tuvieron que pasar 5 años para que figuras de peso mundial declararan públicamente que habían logrado comprender la demostración. La cara más visible fue otro genio del área, el joven alemán Peter Scholze, pero lo que tenía para decir no gustaría a Mochizuki.

En una entrevista exclusiva con la revista Quanta, Scholze y su colega Jakob Stix dijeron que la prueba contenía un error “grave e irresoluble”, por lo que la conjetura abc seguía abierta.

Ahora esto que Quanta describió como un “choque de titanes de las matemáticas” acaba de tener un nuevo capítulo.

Cuando a+b=c

La conjetura abc parte de una ecuación muy simple que es: a+b=c.

No obstante, esa aparente simplicidad encierra un vínculo profundo y hasta ahora desconocido entre la suma y la multiplicación de números enteros.

(Si te estás preguntando dónde está la multiplicación si solo ves una suma, ve al final de la nota, donde encontrarás una explicación más en detalle de la conjetura).

A diferencia de otros problemas famosos, esta conjetura fue formulada hace relativamente poco, en 1985, y solo con el paso de los años los matemáticos se fueron dando cuenta de sus enormes consecuencias.

Es que, de ser demostrada, desataría la solución de una cantidad de problemas matemáticos de un plumazo.

Sin embargo, la mayoría de los especialistas en teoría de números estaban convencidos de que probar esta conjetura era una tarea tan colosal que ni siquiera lo intentaban.

No fue el caso de Mochizuki.

De talento precoz a referente mundial

Mochizuki nació en Tokio en 1969, pero de niño se mudó a EE.UU. con su familia.

“Su talento precoz le valió un puesto de pregrado en el Departamento de matemáticas de (la Universidad de) Princeton cuando apenas tenía 16 años”, dice un artículo de Nature.

“Rápidamente se convirtió en una leyenda por su pensamiento original y pasó directamente a un doctorado“, agrega el texto publicado en 2015.

Tras terminar su doctorado, Mochizuki pasó dos años en Harvard y con 25 años de edad regresó a su Japón natal para ocupar un puesto en el Instituto de Investigación de Ciencias Matemáticas (RIMS) de la Universidad de Kioto, donde aún trabaja.

Una vez allí resolvió una conjetura planteada por el mismísimo Alexander Grothendieck, quien suele ser descrito como el mayor matemático del siglo XX.

Fue con este trabajo de 1996 que Mochizuki consolidó su prestigio internacional. Pero entonces algo estaba cambiando en él.

“Su trabajo estaba alcanzando niveles más altos de abstracción y estaba escribiendo artículos que eran cada vez más impenetrables para sus compañeros”, se explica en Nature.

Su demostración de la conjetura abc es la prueba máxima de ese proceso.

“Traté de leerlo y luego, en algún momento, me di por vencido. No entiendo lo que está haciendo“, declaró a Nature el matemático alemán Gerd Faltings, quien no solo ha ganado una medalla Fields (“el nobel” de las matemáticas), sino que además fue el asesor de tesis de grado y doctorado de Mochizuki en EE.UU.

10 años para entenderlo

La demostración de Mochizuki de la conjetura abc se basa en décadas de investigación en un área de la geometría aritmética llamada geometría anabeliana, que es famosa por su extrema dificultad (y por su escasez de especialistas).

De hecho, las más de 500 páginas que publicó en 2012 hacen referencia a otros tantos cientos de páginas de trabajos previos suyos.

Su complejidad es tal que el propio Mochizuki estimó que a un estudiante de matemáticas de posgrado le llevaría 10 años entenderla.

Los investigadores, por su parte, deben desactivar “los patrones de pensamiento que han instalado en sus cerebros y que han dado por sentado durante tantos años” para comprenderla, escribió el japonés en su web.

“La demostración es difícil hasta el extremo”, reconoce a BBC Mundo el doctor en matemáticas español Francisco R. Villatoro.

El también docente de la Universidad de Málaga (España) explica que “este tipo de demostraciones están repletas de neologismos para referirse a conceptos muy, pero muy parecidos entre sí, pero que, según el autor, son diferentes y es importante darse cuenta de la pequeñísima diferencia”.

De hecho, se necesitan tantas palabras nuevas que acaban usando palabras “divertidas y exóticas”.

“Así tras cientos de páginas con definiciones de nuevos términos, se empiezan a demostrar resultados en los que todas las palabras son nuevas”, dice Villatoro, reconociendo que “ello dificulta mucho seguir la línea argumental“.

A finales de 2015 se organizó en Oxford (Reino Unido) un workshop donde matemáticos de todo el mundo se reunieron para tratar de entender la demostración. Mochizuki rechazó la invitación, pero varios de sus colaboradores asistieron para hablar por él.

La idea era que estos explicaran los artículos a la comunidad y despejaran sus dudas. Pero eso no sucedió.

“No es suficiente que haya gente que declare que ha leído el argumento y que está bien; alguien tiene que ser capaz de explicarlo“, escribió en 2017 el matemático de la Universidad de Chicago (EE.UU) Frank Calegari en su blog personal.

A 5 años de ser publicada, la demostración de Mochizuki seguía en el limbo, sin ser descartada ni aceptada por falta de una voz calificada e independiente capaz de inclinar la balanza.

Entonces Scholze decidió hablar.

El corolario 3.12

Según el citado artículo de Quanta, el matemático alemán fue uno de los primeros en leer el trabajo de Mochizuki.

“Scholze, que solo tenía 24 años en ese momento, creía que la demostración era fallida. Pero en general se mantuvo al margen de las discusiones sobre los artículos académicos, excepto cuando se le preguntaba directamente qué pensaba”, se explica.

Pero, tras leer la publicación de Calegari, decidió escribir un mensaje en la sección de comentarios afirmando: “Soy completamente incapaz de seguir la lógica después de la figura 3.8 en la demostración del corolario 3.12“.

“Los que aseguran que comprenden la demostración no están dispuestos a reconocer que en ese punto hay que explicar más”, agregaba.

El comentario desató un revuelo en la comunidad.

La falla en el corolario 3.12 no solo hacía caer toda la línea argumental de la demostración, sino que además estaba siendo señalada por Scholze, quien ya era considerado una autoridad en geometría aritmética y que poco tiempo después terminaría ganando la prestigiosa medalla Fields.

Tal fue la polémica que el alemán fue invitado a reunirse con Mochizuki en Japón. Hasta allí viajó en 2018 junto a Stix, un experto en geometría anabeliana de la Universidad Goethe de Fráncfort (Alemania).

Pero el encuentro de titanes fue un fracaso.

Scholze y Stix se fueron frustrados por la escasa receptividad del japonés para reconocer el error. Mochizuki, en cambio, aseguró que el problema de los alemanes es que no entendían su trabajo.

Pero la balanza de la comunidad matemática se inclinó hacia el lado de Scholze y Stix.

“Creo que la conjetura de abc todavía está abierta”, dijo Scholze a Quanta. “Cualquiera tiene la oportunidad de probarla“, agregó.

Una nueva controversia

El tema parecía saldado hasta este mes, cuando PRIMS, la revista científica del RIMS, publicó los cuatro artículos académicos de Mochizuki con cambios mínimos, dice Villatoro.

En otras palabras, no corrigió el corolario 3.12.

“Ahora tenemos la situación ridícula en la que abc es un teorema en Kioto, pero una conjetura en el resto del mundo“, escribió Calegari cuando aún era un rumor que PRIMS publicaría a Mochizuki.

“La revista científica para ese tipo de gran resultado es Annals of Mathematics“, explica Villatoro, destacando que la publicación es “muy, muy rigurosa” con la revisión por pares.

Y dado que Scholze es uno de los mayores expertos en el mundo en geometría aritmética, continúa el español, sería de esperarse que él fuese uno de los pares elegidos para revisar los artículos de Mochizuki.

Teniendo ese “no” asegurado, “Annals of Mathematics nunca lo publicaría”, sentencia.

Pero la elección de la revista tampoco ayuda a despejar las suspicacias en contra de Mochizuki. Es que además de trabajar en el RIMS, es el editor en jefe de la revista.

Mochizuki no participó en la revisión de pares, algo usual en este tipo de situaciones de conflicto de interés. No obstante, la comunidad matemática está presionando a PRIMS para que revele quiénes la realizaron y qué argumentos dieron para su aceptación, cuenta Villatoro.

Según sus cálculos, los investigadores en geometría aritmética son algunos cientos a nivel global, mientras que habrá unos 50 expertos en geometría anabeliana.

“Ahora mismo puede haber unas cinco personas en el mundo a favor de Mochizuki“, dice. “Y todos se encuentran bajo su paraguas académico”.

Por el contrario, agrega, “la gran mayoría de la comunidad ha abandonado la idea de tratar de entender la demostración porque la considera fallida. Mientras no quede claro el contraargumento, a lo que ya se sabe que está mal, no merece la pena perder el tiempo en ello”.

Puede parecer que es la historia de un genio incomprendido “luchando contra el establishment, contra una especie de conspiración en su contra”, dice Villatoro. Pero no es el caso, asegura.

Faltings, el mentor de Mochizuki, fue contundente en este sentido. “La gente tiene derecho a ser todo lo excéntrica que quiera”, dijo en su momento a Nature.

Sin embargo, afirmó, en matemáticas “no basta con tener una buena idea: también hay que poder explicársela a los demás“.

La conjetura abc explicada por un doctor en matemáticas

Si estás aquí es porque quieres saber más en profundidad qué es la conjetura abc, así que, sin más, doy paso al investigador Francisco R. Villatoro para que explique las matemáticas sin las interrupciones periodísticas:

La conjetura abc es muy útil para atacar un problema importante en la teoría de números: resolver las ecuaciones diofánticas por un procedimiento de búsqueda sistemática.

Se llama ecuación diofántica a una ecuación cuyas soluciones tienen que ser números enteros; suelen ser polinomios (sumas de productos) en varias incógnitas. El ejemplo más conocido es el teorema de Pitágoras para triángulos rectángulos, que afirma que la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa, o en símbolos a²+b²=c². La solución más conocida es a=3, b=4, y c=5, ya que 9+16=25. En este caso existen infinitas soluciones, llamadas ternas pitagóricas.

Sin embargo, un trabajo matemático muy famoso nos dice que la mayoría de las ecuaciones diofánticas tienen un número finito de soluciones o no tienen ninguna. Gracias a ello, se podría pensar que se pueden encontrar todas las soluciones usando un método de búsqueda sistemática. Empiezas probando con números pequeños y acabarás encontrando todas las soluciones.

El problema es que para hacer esta búsqueda sistemática tienes que tener algún resultado matemático que te limite el tamaño máximo de las soluciones, que te diga: “Si has mirado hasta aquí y no has encontrado la solución, entonces es que no hay solución”. Lo que necesitas es una cota superior y en muchas ecuaciones diofánticas se puede obtener gracias a la conjetura abc.

Para explicar la conjetura abc tenemos que recordar la factorización de números enteros. Todo número entero se puede factorizar como un producto de números primos, siendo estos los números cuyo único divisor son ellos mismos y, por supuesto, el uno, que lo descartamos.

Por ejemplo, el número 12 se puede factorizar como 2·2·3 = 2²·3, o el número 198 como 2·3·3·11 = 2·3²·11. Muchos números tienen muchos factores primos pequeños repetidos muchas veces.

La conjetura abc afirma que para tres números tales que a+b=c, si los números a y b tienen un gran número de factores primos pequeños, diferentes entre a y b, entonces el número c tendrá algún factor primo muy grande.

Por ejemplo, en la suma 2⁵·3¹⁸+5⁶·7¹⁰·​23²=11⁹·691·​1433, el resultado tiene un factor primo muy grande, 1433, comparado con los factores primos de los sumados.

Este resultado permite acotar el tamaño de las raíces de muchas ecuaciones diofánticas, pues permite acotar el tamaño de los factores primos de las sumas a partir de los de sus sumandos.

Hay otras maneras de formular la conjetura abc. Lo más relevante es que, en general es muy difícil relacionar el resultado de una suma con el producto de sus factores primos. Los resultados que lo logran, como la conjetura abc, nos ofrecen una relación muy útil para atacar muchos problemas matemáticos.

Por ello, la demostración de la conjetura abc tendrá un enorme impacto en el campo de la teoría de números.